什么是费马数？如题 谢谢了

1. 什么是费马数？如题 谢谢了

叫费马质数或费马素数. 法国数学家费马于1640年提出了以下猜想: 可以发现 F1=2^(2^1)+1=5  F2=2^(2^2)+1=17  F3=2^(2^3)+1=257  F4=2^(2^4)+1=65537 F5=2^(2^5)+1=4294967297 前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是质数. 由此提出(费马没给出证明),形如Fn=2^(2^n)+1 的数都是质数的猜想.后来人们就把形如2^(2^n)+1的数叫费马数. 1732年,欧拉算出F5=641*6700417,不是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.以后,人们又陆续找到了不少反例,如n=6时,F6=2^(2^6)+1=274177*67280421310721,不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.甚至有人猜想：费马数N>4时，费马数全是合数! 实际上几千年来,数学家们一直在寻找这样的一个公式,一个能求出所有质数的公式;但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在;这样的公式存不存在,也就成了一个著名的数学难题.  虽然费马数作为一个关于指数公式的尝试失败了,但有意思的是,1801年数学家高斯证明:如果费马数K为质数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形.

2. 什么是费马数？为什么叫费马数？

叫费马质数或费马素数.法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:可以发现F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537F5=2^(2^5)+1=4294967297前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是质数.由此提出(费马没给出证明),形如Fn=2^(2^n)+1 的数都是质数的猜想.后来人们就把形如2^(2^n)+1的数叫费马数.1732年,欧拉算出F5=641*6700417,不是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.以后,人们又陆续找到了不少反例,如n=6时,F6=2^(2^6)+1=274177*67280421310721,不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.甚至有人猜想：费马数N>4时，费马数全是合数!实际上几千年来,数学家们一直在寻找这样的一个公式,一个能求出所有质数的公式;但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在;这样的公式存不存在,也就成了一个著名的数学难题.

3. 为什么说费尔马是业余数学家之王

费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于艾萨克·牛顿、戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学天才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家之一。

主要贡献
对解析几何的贡献
　　费马独立于勒奈·笛卡儿发现了解析几何的基本原理。
　　1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。
　　费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费马的工作却是开创性的。
　　《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费马的发现比勒奈·笛卡儿发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。
　　笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相对的方面。
　　在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示一个曲面，并对此做了进一步地研究。
对微积分的贡献
　　16、17世纪，微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛顿和莱布尼茨是微积分的缔造者，并且在其之前，至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作。但在诸多先驱者当中，费马仍然值得一提，主要原因是他为微积分概念的引出提供了与现代形式最接近的启示，以致于在微积分领域，在牛顿和莱布尼茨之后再加上费马作为创立者，也会得到数学界的认可。
　　曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。这项工作较为古老，最早可追溯到古希腊时期。阿基米德为求出一条曲线所包任意图形的面积，曾借助于穷竭法。由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘、直到16世纪才又被重视。由于约翰尼斯开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。尽管这种方法并不完善，但却为自卡瓦列里到费马以来的数学家开辟厂一个十分广阔的思考空间。
　　费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。
对概率论的贡献
　　早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论，但是对其有数学的描述和处理却是15世纪以后的事。l6世纪早期，意大利出现了卡尔达诺等数学家研究骰子中的博弈机会，在博弈的点中探求赌金的划分问题。到了17世纪，法国的帕斯卡和费马研究了意大利的帕乔里的著作《摘要》，建立了通信联系，从而建立了概率学的基础。
　　费马考虑到四次赌博可能的结局有2×2×2×2＝16种，除了一种结局即四次赌博都让对手赢以外，其余情况都是第一个赌徒获胜。费马此时还没有使用概率一词，但他却得出了使第一个赌徒赢得概率是15／16，即有利情形数与所有可能情形数的比。这个条件在组合问题中一般均能满足，例如纸牌游戏，掷银子和从罐子里模球。其实，这项研究为概率的数学模型一概率空间的抽象奠定了博弈基础，尽管这种总结是到了1933年才由柯尔莫戈罗夫作出的。
　　费马和布莱士·帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念。这是从点的数学问题开始的：在一个被假定有同等技巧的博弈者之间，在一个中断的博弈中，如何确定赌金的划分，已知两个博弈者在中断时的得分及在博弈中获胜所需要的分数。费马这样做出了讨论：一个博弈者A需要4分获胜，博弈者B需要3分获胜的情况，这是费马对此种特殊情况的解。因为显然最多四次就能决定胜负。
　　一般概率空间的概念，是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇的世界了。费马的贡献便在于此。
对数论的贡献
　　17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家丢番图所写的《算术》一书。l621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。
　　费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有：
　　费马大定理：n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由英国数学家怀尔斯证明了(1995年)，证明的过程是相当艰深的！
　　费马小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一个素数，a是正整数，它的证明比较简单。事实上它是Euler定理的一个特殊情况，Euler定理是说：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整数，φ(n)是Euler函数，表示和n互素的小于n的正整数的个数（它的表达式欧拉已经得出，可以在“Euler公式”这个词条里找到）。
　　另外还有：
　　(1)全部大于2的素数可分为4n+1和4n+3两种形式。
　　(2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。
　　(3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。
　　(4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。
　　(5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。
　　(6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。
　　(7)发现了第二对亲和数：17296和18416。
　　十六世纪，已经有人认为自然数里就仅有一对亲和数：220和284。有一些无聊之士，甚至给亲和数抹上迷信色彩或者增添神秘感，编出了许许多多神话故事。还宣传这对亲和数在魔术、法术、占星术和占卦上都有重要作用等等。
　　距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费马找到第二对亲和数17296和18416，重新点燃寻找亲和数的火炬，在黑暗中找到光明。两年之后，“解析几何之父”——法国数学家勒奈·笛卡儿(René Descartes)于1638年3月31日也宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584。费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千多年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛。
对光学的贡献
　　费马在光学中突出的贡献是提出最小作用原理，也叫最短时间作用原理。这个原理的提出源远流长。早在古希腊时期，欧几里得就提出了光的直线传播定律相反射定律。后由海伦揭示了这两个定律的理论实质——光线取最短路径。经过若干年后，这个定律逐渐被扩展成自然法则，并进而成为一种哲学观念。—个更为一般的“大自然以最短捷的可能途径行动”的结论最终得出来，并影响了费马。费马的高明之处则在于变这种的哲学的观念为科学理论。
　　费马同时讨论了光在逐点变化的介质中行径时，其路径取极小的曲线的情形。并用最小作用原理解释了一些问题。这给许多数学家以很大的鼓舞。尤其是莱昂哈德·欧拉，竟用变分法技巧把这个原理用于求函数的极值。这直接导致了拉格朗日的成就，给出了最小作用原理的具体形式：对一个质点而言，其质量、速度和两个固定点之间的距离的乘积之积分是一个极大值和极小值；即对该质点所取的实际路径来说，必须是极大或极小。

4. 是什么所导致费尔马取得了专业的数学成就？

费尔马30岁以后，几乎把精力全都放在数学研究上，他的家境优越，家庭和睦幸福，交际圈又多为学者，这一切使得费尔玛在业余的范围内取得了专业的数学成就。费尔马和笛卡尔一起，完善了平面解析几何，是他第一次把三元方程应用于空间解析几何学。费尔马同帕斯卡一起，讨论了赌本分配的问题，成为最早的概率论问题。

5. 为什么说费尔马是业余数学家之王

费尔马是法国人，以他著名的费尔马大定理而闻名于世。他的正式职业只是一个地方议会的议员。尽管钻研数学是他公务之余的爱好，但他却在数学的许多领域中硕果累累，被誉为17世纪法国最伟大的数学家。
　　费尔马于1601年8月17日出生于法国南部博蒙——德洛马涅，
1665年1月22日于卡斯特尔逝世。费尔马是一个皮革商的儿子，童年是在家里受的教育，
后来学习法律，当过律师。费尔马在谦虚谨慎地完成他的工作的同时，把大量的业余时间用于博览群书，他精通数国文字、掌握多门自然科学，年近30岁时开始认真研究数学。
　　费尔马偏爱数论，在这个领域中，他具有非凡的直觉和能力，他证明了许多定理，也提出了许多命题，其中有些成为著名的猜想，吸引着后人，推动了数论的发展。如最著名的费尔马大定理：“不存在正整数x、y、z、n，使得xn+yn=zn（n＞2）”。费尔马小定理：“如果p是素数，并且a与p互素，则ap-1-1可被p整除”。还有：“一个形式为4n+1的素数可表成两个平方数之和”。“每个非负整数可以表成四个或少于四个平方数的和”等等。这些命题都陆续被后人证明。命题的证明固然令人鼓舞，然而更令人惊喜的是在这些命题的证明过程中创立了许多比它们本身更有意义的数学成果。费尔马被誉为现代数论的奠基人，费尔马的猜想也有个别被否定的。如“对于所有非负整数n，f（n）=22n+1是素数。”对n=1，2，3，4时，命题为真，但欧拉证明了f（5）=225+1是合数。尽管如此也丝毫没有降低费尔马的成就，因为数学知识的积累不仅要依靠已证明的理论，而且也要依靠那些未知的猜想”，这也是推动数学发展的一个重要源泉。
　　费尔马是微积分的先驱者，早在牛顿、莱布尼茨之前，他就提出用微分子法求极大、极小的步骤，并给出求曲线围成图形的面积的方法。费尔马还是概率论的探索者，他与帕斯卡的通信为数学概率论开了先河。惠更斯关于概率论的第一篇正式论文，就是以费尔马与帕斯卡的通信为基础的。
　　费尔马作为一名业余数学家，为数学的发展作出了杰出的贡献，不愧是一代数学大师。

6. 什么是费马数？

伟大的科学家同样也会犯错误，科学史上这样的事件屡见不鲜。被举为“近代数论之父”、“业余数学家之王”的17世纪法国数学家费马就是其中一个，而且他所犯的错误又恰恰是在他最擅长的数论之中。
1640年，费马发现：设Fn=22n+1，则当n=0，1，2，3，4时，Fn分别给出3，5，17，257，65537，都是素数。这种素数被称为“费马数”。由于F5太大（F5=4294967297）他没有再进行验证就直接猜测：对于一切自然数n，Fn都是素数。不幸的是，他猜错了。1732年欧拉发现：F5=225+1=4294967297=6146700417，偏偏是一个合数！1880年，又有人发现F6=226+1=2747767280421310721，也是合数。
不仅如此，以后陆续发现F7，F8……直到F19以及许多n值很大的Fn全都是合数！虽然Fn的值随着n值的增加，以极快的速度变大（例如1980年求出F8=1238926361552897一个62位数），目前能判断它是素数还是合数的也只有几十个，但人们惊奇地发现：除费马当年给出的5个外，至今尚未发现新的素数。这一结果使人们反过来猜测：是否只有有限个费马数？是否除费马给出的5个素数外，再也没有了？可惜的是，这个问题至今还悬而未决，成了数学中的一个谜。

7. 费马定理中第六个费马数是多少

法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:  形如2^2^n+1(n属于N)的数叫费马数。可以发现 F0=2^2^0+1=3, F1=2^2^1+1=5, F2=2^2^2+1=17, F3=2^2^3+1=257,F4=2^2^4+1=65537, F5=2^2^5+1=4294967297,前5个是质数,因为第6个数实在太大了,费马认为是质数。由此提出(费马没给出证明)形如Fn=2^2^n+1 的数都是质数的猜想。 1732年,欧拉算出F5=641*6700417,不是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式以后,人们又陆续找到了不少反例,如n=6时,F6=2^2^6+1=274177*67280421310721,不是质数。至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.甚至有人猜想：费马数当N>4时全是合数! 时至今日，人们只发现了五个费马数为素数，即F0= 3， F1= 5 ， F2=17 ， F3=257 ， F4=65537，下列46个费马数Fn=f(n)当 n= 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13，14，15， 16， 18， 19， 21，23， 25， 26， 27， 30， 32， 36， 38， 39， 42，52，55， 58， 63， 73， 77， 81，117，125，144， 150， 207， 226， 228， 250， 267， 268， 284， 316， 452， 1945时皆为合数。 早已经有人证明，费马数的因数必然是2ˇ（n+2)k+1形，注：（n+2)是右上标。例如n=5时，4294967297=(128x5+1)x(128x52347+1).其中128就是2的7次方。即5+2次方。 实际上几百年来,数学家们一直在寻找这样的一个公式,一个能求出所有质数的公式;但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在;这样的公式存不存在,也就成了一个著名的数学难题.。参见百度百科“素数普遍公式”和“孪生素数普遍公式”。那里有可以构造一切素数的普遍公式呢？ 虽然费马数作为一个关于指数公式的尝试失败了,但有意思的是,1801年数学家高斯证明:如果费马数K为质数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形. 二 所谓梅森素数,是以17世纪法国修道士M.梅森的名字命名的。梅森在1644年出版的著作>的序言中宣称,对于n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257,数Mn=2 n -1是素数,而对于其他所有小于257的数n,Mn是合数。但是,这里出现了5个错误,M67,M257不是素数,而M61,M89,M107是素数。显然,要使Mn是素数,n本身必须是素数,但是反过来,n是素数,Mn却不一定是素数,例如虽然11是素数,可是M11=2047=23X89是合数。 时至今日,人类认识找到了42个梅森素数，前18个梅森素数是n=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 ,521,607,1279,2203,2281,3217时的Mn=2 n -1。下表列出了从1961年以来所发现的全部梅森素数（摘自  http://www.utm.edu/research/primes/） ： 序号 素数 位数 序号 素数 位数 19 2 4253 -1 1281 20 2 4423 -1 1332 21 2 9689 -1 2917 22 2 9941 -1 2993  23 2 11213 -1 3376 24 2 19937 -1 6002 25 2 21701 -1 6533 26 2 23209 -1 6987 27 2 44497 -1 13395 28 2 86243 -1 25962  29 2 110503 -1 33265 30 2 132049 -1 39751 31 2 216091 -1 65050 32 2 756839 -1 227832 33 2 859433 -1 258716 34 2 1257787 -1 378632 35 2 1398269 -1 420921 36 2 2976221 -1 895932 37 2 3021377 -1 909526 38 2 6972593 -1 2098960 39 2 13466917 -1 4053946 40 2 20996011 -1 6320430 41 2 24036583 -1 7235733 42 2 25964951 -1 7816230 三 费马数与新的费马素数 1.我们研究发现有费马素数新的定理：若2^n+1为素数，则2^2^n + 1必为素数( n属于N)。 继承弘扬创新古中华传统文化思想，我们研究八卦数论发现当年费尔马猜想整数 Fn=2^2^n + 1 (n属于N) 是素数缺少一个相对的题设条件“2^n +1 （n属于N）是素数”。 单从费马数本身去研究费马数，是无法发现(或判定)存在无穷多的费马数是素数与素数成链及链系无穷的。换言之，不了解2^n 的幂的四象性是历史上的不足。本定理所揭示的数学性质正是整数的积幂四象八卦性质的贴切体现。 中外古典哲学称“天不变，道亦不变”，“一生二，二生三，三生万物”，“三是万物的形体”。依据费马素数新定理“若2^n +1为素数，则2^2^n+1必为素数（n属于N）”，有 1) 以素数2为链首的素数有 若2^0 + 1是素数，则2^2^0+1必为素数，即素数3 ； 若2^1 + 1是素数，则2^2^1+1必为素数，即素数5； 若2^2 + 1是素数，则2^2^2+1必为素数，即素数17； 若2^4 + 1 是素数，则2^2^4+1必为素数，即素数65537； 若2^16 + 1 是素数，则2^2^16+1=2^65536 +1必为素数； 若2^65536 +1是素数，则2^2^65536+1必为素数； ………………  若2^2^…^2^65536+1（指数上的指数有k个2）是素数，则2^2^…^2^2^265536+1（指数上的指数有k+1个2）必为素数。 ………………  2) 以素数257为链首的素数有 若2^8 +1 是素数，则2^2^8+1必为素数， 即2^256 + 1为素数；  若2^256 +1是素数，则2^2^256+1必为素数； 若2^2^256+1是素数，则2^2^2^256+1必为素数； ……………… 若2^2^…^2^256+1（指数上的指数有k个2）是素数，则2^2^…^2^2^256+1（指数上的指数有k+1个2）必为素数； ……………… 类似的素数链有无穷多个，如上所列举的费马数为素数的整数亦有无穷多个，即存在着无穷大费马数素数。 2．费马数素数链的性质。符合上述素数新定理题设条件与结论的素数具有下述性质： 1) 素数的链索性 2 → 3 → 5 → 17 → 65537 → 2^65536 + 1 →…… 2) 素数成链，链索系无穷 257 → 2^256 + 1 → 2^2^256 + 1→ 2^2^2^256 + 1 …… 又是另一素数链； 3) 同一素数链中，链首素数确定后，后继素数亦具唯一性，且不同链系中的素数是各不相同的。 * 只要有大型计算机如上的素数是可以计算出来的，也许还可以找到更大的新素数！ 3．费马素数新定理的证明 （待续）

8. 费马数的性质

任意两个费马数都互质。证明如下：设m>n, ，而 = = =……= ，所以 整除 。根据辗转相除的原理， ，所以任意两个费马数都互质。费马数满足以下的递回关系：       其中n ≥ 2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设 0 ≤ i  1。那么 a 能把和Fj都整除；则a能整除它们相减的差。因为a > 1，这使得a = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。其他性质：  Fn的位数D(n,b)可以表示成以b 为基数就是  (参见高斯函数).  除了F1 = 2 + 3以外没有费马数可以表示成两个素数的和。  当p是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。  除了F0和F1，费马数的最后一位是7。  所有费马数（OEIS中的数列A051158）的倒数之和是无理数。