Black-Scholes模型中d1d2是怎么得到的

1. Black-Scholes模型中d1d2是怎么得到的

 N(d1)是在风险中性测度下，按股价加权得到的期权被执行的可能性，N(d2)是在风险中性条件下，（不按股价加权）得到的期权被执行的可能性
最后一句话有好多故事要说啊考虑如果你去买一个期权，一种是Asset-or-Nothing,一Cash-or-Nothing同时假设
很多时候，我们看到，N(d2)是在风险中性测度下的ITM概率。这个是相对好理解的：对于一个Cash-or-Nothing, strike at K. 因为是风险中性，所以现在的价格就是期望价格，所以
但是如果对于一个Asset-or-Nothing期权，（）你愿意付的钱还会是吗？还是要比这个要多。我们直觉说：如果这个期权最后ITM的话，那么他的价值一定要比大，因为strike at K。所以这个期权的价值一定要比大。而这个数值就是.“如果这个期权最后ITM的话，那么他的价值一定要比大”这句话就是指在风险中性测度下，按照股价加权。
通常还被如下解释：n(d1) is also the ITM probably at expiry, but under the measure that uses the stock price as the numeraire. 参见 (Wilmott Forums)
我的理解是这样子的：在任何X-Numerarie下面，X自身就是一个Martingale. 比如风险中性测度下，折现未来价格就是Martingale.比如Forward测度下，Forward就是Martingale。所以在spot measure下，spot就是martingale,ie所以这里是期权开始价格，是期权最终价格。所以我们看到是在Spot measure下ITM概率。
最最后，一个直觉上的解释就是：加权就是一种测度的转化。参见Importance Sampling.update1推导一下这句话：n(d1) is also the ITM probably at expiry, but under the measure that uses the stock price as the numeraire.假设在风险中性测度下，有ITM概率是要想看在stock measure下，就需要把任何产品除以,然后找出martingale measure.