运筹学凸集的定义及判定方式

1. 运筹学凸集的定义及判定方式

运筹学的凸集：实数 R （或复数 C 上）向量空间中，集合 S 称为凸集，如果 S 中任两点的连线内的点都在集合 S 内。
判定方法：1.任意凸集之交为凸集。
2.X的子空间为凸集。
3.若S为凸集，则对X中任何x，x+S亦为凸集。
换句话说，连接x和y的线段上的每个点都在C中。这意味着实际或复杂拓扑线性空间中的凸集是道路连通的。此外，如果除了端点之外的连接x和y的线段上的每个点都在C的内部，则C是严格凸起的。

2. 凸集 《运筹学》判断集合｛（x1，x2，x3）|x1+x2≤1,x1-x3 ≤2}是否为凸集，并写出求解过程。急，谢！！！

答案：是凸集。
解答：
设（t0,t1,t2）和（s0,s1,s2)是该集合中的点，只需要证明对于任意的u
（0<=u<=1)，均有
（ut0+(1-u)s0,ut1+(1-u)s1,ut2+(1-u)s2)也在该集合中即可；显然由（t0,t1,t2）和（s0,s1,s2)在该集合中，得到s0+s1<=1,s0-s2<=2,t0+t1<=1,t0-t2<=2；所以ut0+(1-u)s0+ut1+(1-u)s1=u(t0+t1)+(1-u)(s0+s1)<=u+1-u=1；ut0+(1-u)s0-[ut2+(1-u)s2]=u(t0-t2)+(1-u)(s0-s2)<=2u+2(1-u)=2，所以点（ut0+(1-u)s0,ut1+(1-u)s1,ut2+(1-u)s2)也满足｛（x1，x2，x3）|x1+x2≤1,x1-x3
≤2}，所以它也在集合中，所以为凸集。