合同矩阵

1. 合同矩阵

a^TAa=(a^TAa)^T=a^T(A^T)a=-a^TAa;
所以a^TAa=0.

2. 合同矩阵一定是实对称矩阵吗?

是的。
合同矩阵一定是实对称矩阵。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使得C，TAC=B,则称方阵A合同于矩阵B。假如A和B不是实对称矩阵，即使存在可逆矩阵P令P'AP=B，那A和B也不算合同矩阵。
一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。


性质：
合同关系是一个等价关系，也就是说满足：
1、反身性：任意矩阵都与其自身合同。
2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A。
3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C。
4、合同矩阵的秩相同。
矩阵合同的主要判别法：
设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
设A，B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

3. 矩阵合同需要对称吗

对称。
一般来讲对于n阶实矩阵A和B而言，确实不需要对称的条件，只要存在可逆矩阵C满足A=CBC^T就表示A和B合同；至于秩和行列式的性质，和一般的相抵变换差不太多。
rank(CBC^T)=rank(B)
det(CBC^T)=det(B)det(C)^2
一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

扩展资料：
设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。
参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

4. 合同矩阵和相似矩阵的区别？

矩阵相似与矩阵合同具体的不同点在于：

1、矩阵相似的例子中，P－1AP＝B，针对方阵而言，秩相等为必要条件，本质是二者有相等的不变因子，可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵，矩阵相似必等价，但等价不一定相似。

2、矩阵合同的例子中，CTAC＝B，针对方阵而言，秩相等为必要条件，本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同，可通过二次型的非退化的线性替换来理解，矩阵合同必等价，但等价不一定合同。

简而言之，相似就是两个矩阵经过初等变换能从A变到B，此时有相同的秩，特征值，合同就是两个矩阵有相同的正负惯性指数来进行判断。

扩展资料

在数学中，矩阵是按照矩形阵列排列的复数或实数集合，最初由方程组的系数和常数组成。这个概念最早是在19世纪由英国数学家托马斯·凯利提出的。

矩阵是高等代数和统计分析等应用数学中的常用工具。在物理中，矩阵在电路、力学、光学和量子物理中都有应用。在计算机科学中，3d动画也使用矩阵。矩阵运算是数值分析领域中的一个重要问题。

将矩阵分解成简单的矩阵组合，可以在理论和实践上简化矩阵的运算。对于一些被广泛应用的具有特殊形式的矩阵，如稀疏矩阵和拟对角矩阵，有特定的快速算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参阅矩阵理论。在天体物理学、量子力学等领域，也会出现无限维矩阵，它是矩阵的一种推广。

数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是几个世纪以来的一个课题，是一个不断扩展的研究领域。矩阵分解法简化了理论计算和实际计算。针对特定矩阵结构的算法，如稀疏矩阵和近角矩阵，可以加快有限元方法和其他计算的计算速度。无穷矩阵出现在行星理论和原子理论中。

无穷矩阵的一个简单例子是表示函数泰勒级数的导数算子的矩阵。
参考资料：百度百科-矩阵

5. 合同矩阵的性质

6. 合同矩阵的判定是什么?

矩阵合同，两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使得C^TAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。而且在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。
合同矩阵，在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 C，使得CTAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：  
1、反身性：任意矩阵都与其自身合同。
2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A。
3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C。
4、合同矩阵的秩相同。

7. 合同矩阵的定义

合同矩阵：两个数域F上的矩阵A和B，如存在存在F上的可逆矩阵P，使得　　，就称矩阵B与A合同 。在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个实对称矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵P，使得对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。

8. 为什么矩阵A合同于其规范型？

当且仅当存在一个可逆矩阵C
使得C^TAC=B
则称方阵A合同于矩阵B
任何二次型都可以化成规范型
只需要在标准型的基础上，将平方项的系数变为1或-1
合同就是规范型中的1，-1以及0的个数都是一样的
那么当然矩阵A合同于其规范型