自然对数的来源

1. 自然对数的来源

这里的e是一个数的代表符号，而我们要说的，便是e的故事。这倒叫人有点好奇了，要能说成一本书，这个数应该大有来头才是，至少应该很有名吧？但是搜索枯肠，大部分人能想到的重要数字，除了众人皆知的0及1外，大概就只有和圆有关的π了，了不起再加上虚数单位的i=√-1。这个e究竟是何方神圣呢？ 在高中数学里，大家都学到过对数（logarithm）的观念，也用过对数表。教科书里的对数表，是以10为底的，叫做常用对数（common logarithm）。课本里还简略提到，有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数，称为自然对数（natural logarithm），这个e，正是我们故事的主角。不知这样子说，是否引起你更大的疑惑呢？在十进位制系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底更「自然」吗？更令人好奇的是，长得这麼奇怪的数，会有什麼故事可说呢？ 包罗万象的e  读者恐怕已经在想，光是计算利息，应该不至於能讲一整本书吧？当然不，利息只是极小的一部分。令人惊讶的是，这个与计算复利关系密切的数，居然和数学领域不同分支中的许多问题都有关联。在讨论e的源起时，除了复利计算以外，事实上还有许多其他的可能。问题虽然都不一样，答案却都殊途同归地指向e这个数。比如其中一个有名的问题，就是求双曲线y=1/x底下的面积。双曲线和计算复利会有什麼关系，不管横看、竖看、坐著想、躺著想，都想不出一个所以然对不对？可是这个面积算出来，却和e有很密切的关联。我才举了一个例子而已，这本书里提到得更多。 这就要从古早时候说起了。至少在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。那麼是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。  我们都知道复利计息是怎麼回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以一年来说，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什麼状况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会，它的值会稳定下来，趋近於一极限值，而e这个数就现身在该极限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫e）。所以用现在的数学语言来说，e可以定义成一个极限值，但是在那时候，根本还没有极限的观念，因此e的值应该是观察出来的，而不是用严谨的证明得到的。 说到伯努利可就有故事说了，这个家族实在不得了，别的家族出一位天才就可以偷笑了，而他们家族的天才是用「量产」形容。伯努利们前前后后在数学领域中活跃了一百年，他们的诸多成就（不仅止於数学领域），就算随便列一列，也有一本书这麼厚。不过这个家族另外擅长的一件事就不太敢恭维了，那就是吵架。自家人吵不够，也跟外面的人吵（可说是「表里如一」）。连爸爸与儿子合得一个大奖，爸爸还非常不满意，觉得应该由自己独得，居然气得把儿子赶出家门；和现代的许多「孝子」们比起来，这位爸爸真该感到惭愧。 e的「影响力」其实还不限於数学领域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的。建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题，居然统统和e有关，岂不奇妙？  数学其实没那麼难！ 我们每个人的成长过程中都读过不少数学，但是在很多人心目中，数学似乎是门无趣甚至可怕的科目。尤其到了大学的微积分，到处都是定义、定理、公式，令人望之生畏。我们会害怕一个学科的原因之一，是有距离感，那些微积分里的东西，好像不知是从哪儿冒出来的，对它毫无感觉，也觉得和我毫无关系。如果我们知道微积分是怎麼演变、由谁发明的，而发明之时还发生了些什麼事（微积分是谁发明的这件事，争论了许多年，对数学发展产生重大的影响），发明者又是什麼样的人等等，这种距离感就应该会减少甚至消失，微积分就不再是「陌生人」了。 试著想像一下二十年之间，每天都在重复做同类型的繁琐计算，这种乏味的日子绝不是一般人能忍受的。但纳皮尔熬过来了，而他的辛苦也得到了报偿——对数受到了热切的欢迎，许多欧洲甚至中国的科学家都迅速采用，连纳皮尔也得到了来自世界各地的赞誉。最早使用对数的人当中，包括了大名鼎鼎的天文学家刻卜勒，他利用对数，简化了行星轨道的繁复计算。 如果整本书光是在讲数学，还说成是说故事，就未免太不好意思了。事实上是，作者在探讨数学的同时，穿插了许多有趣的相关故事。比如说你知道第一个对数表是谁发明的吗？是纳皮尔（John Napier）。没有听说过？这很正常，我也是读到这本书才认识他的。重要的是要下一个问题。你知道纳皮尔花了多少时间来建构整个对数表吗？请注意这是发生在十六世纪末、十七世纪初的事情，别说电脑和计算机了，根本是什麼计算工具也没有，所有的计算，只能利用纸笔一项一项慢慢地算，而又还不能利用对数来化乘除为加减，好简化计算。因此纳皮尔整整花了二十年的时间建立他的对数表，简直是匪夷所思吧！

2. 自然对数是怎么来的啊?

自然对数目录

例子
表示
用途
性质
名字起源
自然律螺线
螺线表达自然律
自然律之美
自然律的渊源及发展宇宙与生命
自然律的价值
自然律的表达
螺线的哲学
自然律的哲学
其他方面例子 
表示 
用途 
性质 
名字起源 
自然律 螺线 
螺线表达自然律 
自然律之美
自然律的渊源及发展 宇宙与生命 
自然律的价值 
自然律的表达 
螺线的哲学 
自然律的哲学
其他方面
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编辑本段例子
　　当x趋近于正无穷或负无穷时，[1+(1/x)]^x的极限就等于e，实际上e就是通过这个极限而发现的。它是个无限不循环小数。其值约等于2.718281828...
编辑本段表示
　　它用LN a表示。a≠0
编辑本段用途
　　以e为底数的对数通常用y=InX表示（X为自变量，y为以e为底X的对数）。
编辑本段性质
　　e是一个超越数。
编辑本段名字起源
　　e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。 　　我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即： 　　log(a * b) = loga + logb 　　但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑： 　　1.所有乘数/被乘数都可以化到0-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。 　　2.那么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数。（如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好看；） 　　3.这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数之的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1.换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。 　　4.为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是1 + 1/X ， X越大越好。在选了一个足够大的X（X越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算 （1+1/X）^1 = p1 , 　　（1+1/X）^2 = p2 , 　　…… 　　那么对数表上就可以写上 P1 的对数值是 1，P2的对数值是 2……（以1-1/X作为底数）。而且如果X很大，那么P1,P2,P3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间。 　　5.最后他再调整了一下，用 （1- 1/X）^ X作为底，这样P1的对数值就是1/X， P2的对数值就是2/ X，…… PX的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-1之间。两个值之间最小的差为1/X。 　　6.现在让对数表更精确，那么X就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，X变大时，这个底数（1 - 1/X）^ X趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了 --- 这个大数学家就是著名的欧拉(Euler)，自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名。 　　当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。
编辑本段自然律
螺线
　　涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……
螺线表达自然律
　　螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： 　　φkρ=αe 　　其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环数。
自然律之美
　　“自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数： 　　(1+1/x)^x 　　当X趋近无穷时的极限。 　　人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究 　　(1+1/x)^x 　　X的X次方，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。
编辑本段自然律的渊源及发展
宇宙与生命
　　现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。 　　生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。
自然律的价值
　　“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。 　　如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。
自然律的表达
　　e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。
螺线的哲学
　　英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？ 　　我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺旋状的。 　　古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。 　　有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！
自然律的哲学
　　有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。 　　“自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》）

3. 自然对数是怎么来的啊?

e在科学技术中用得非常多,一般不使用以10为底数的对数.以e为底数,许多式子都能得到简化,用它是最“自然”的,所以叫“自然对数”.
  　　我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”.以前人们做乘法就用乘法,很麻烦,发明了对数这个工具后,乘法可以化成加法,即：
  　　log(a * b) = loga + logb

4. 自然对数是怎样来的？

e在科学技术中用得非常多,一般不使用以10为底数的对数.以e为底数,许多式子都能得到简化,用它是最“自然”的,所以叫“自然对数”.
　　我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”.以前人们做乘法就用乘法,很麻烦,发明了对数这个工具后,乘法可以化成加法,即：
　　log(a * b) = loga + log

5. 自然对数的历史

约翰·纳皮尔在1614年以及Jost Bürgi（英语：Jost Bürgi）在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念，1742年William Jones（英语：William Jones (mathematician)）才发表了幂指数概念。按后来人的观点，Jost Bürgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数e，而约翰·纳皮尔的底数0.99999999相当接近1/e。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs（英语：Henry Briggs (mathematician)）建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部份完成了常用对数表的编制。形如f(x) = x的曲线都有一个代数反导数，除了特殊情况p = −1对应于双曲线的弓形面积（英语：Quadrature (mathematics)），即双曲线扇形；其他情况都由1635年发表的卡瓦列里弓形面积公式（英语：Cavalieri's quadrature formula）给出，其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成（抛物线的弓形面积（英语：The Quadrature of the Parabola）），双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年Grégoire de Saint-Vincent（英语：Grégoire de Saint-Vincent）将对数联系于双曲线xy=1的弓形面积，他发现x轴上[a,b]两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形同[c,d]对应的扇形，在a/b=c/d时面积相同，这指出了双曲线从x = 1到x = t的积分f(t)满足：1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英语：Alphonse Antonio de Sarasa）将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将1/(1+x)展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。大约1730年，欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为：e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：log(ab) = loga + logb。但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑：1．所有乘数/被乘数都可以化到0-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。2．那么只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数（如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好看）。3．这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1。换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。4．为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是1 - 1/X ，X越大越好。在选了一个足够大的X（X越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算（1-1/X）1 = P1 ，（1-1/X）2 = P2 ，……那么对数表上就可以写上P1的对数值是1，P2的对数值是2……（以1-1/X作为底数）。而且如果X很大，那么P1,P2,P3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间。5．最后他再调整了一下，用（1- 1/X）X作为底，这样P1的对数值就是1/X，P2的对数值就是2/ X，……PX的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-1之间。两个值之间最小的差为1/X。6．让对数表更精确，那么X就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，X变大时，这个底数（1 - 1/X）X趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了--- 这个大数学家就是著名的欧拉(Euler)，自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名。当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。

6. 自然对数是什么？

自然对数：以无理数e为底记为ln。
在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。 
如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。


扩展资料
对数在数学内外有许多应用。这些事件中的一些与尺度不变性的概念有关。例如，鹦鹉螺的壳的每个室是下一个的大致副本，由常数因子缩放。
例如，对数算法出现在算法分析中，通过将算法分解为两个类似的较小问题并修补其解决方案来解决问题。自相似几何形状的尺寸，即其部分类似于整体图像的形状也基于对数。
此外，由于对数函数log（x）对于大的x而言增长非常缓慢，所以使用对数标度来压缩大规模科学数据。对数也出现在许多科学公式中，例如Tsiolkovsky火箭方程，Fenske方程或能斯特方程。
参考资料来源：百度百科-对数

7. 自然对数

以常数e为底数的对数叫做自然对数，记作ln N(N>0).
自然对数的底数e是由一个重要极限给出的.我们定义：当x趋于无限时，lim(1+1/x)^x=e.
　　e是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828…，它是一个超越数.

8. 自然对数的概念

它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值 自然对数的底数e是由一个重要极限给出的。我们定义：当n趋于无限时， .e是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459…，它是一个超越数。 易证明：函数展开为x的幂级数(Maclaurin级数)是；特别地，当x=1时就得到了e的展开式