随机过程有哪些实际应用
2024-05-09 00:18
1. 随机过程有哪些实际应用
泊松过程的M\G\1排队系统,顾客按泊松过程来到商店,商店有一名服务员在服务,服务员只为一名顾客服务,当一名顾客走后立刻服务下一位,求顾客的平均等待时间和忙期. 雨伞问题,一个人每天来往于公司与家之间,即家-公司-家.他在公司和家里共放置了N把伞,当且仅当他离开某地时下雨时带伞.每天下雨概率恒定,求此人淋湿的概率.是N-1的马尔科夫链.只有当他将伞都放在某地时会淋湿,写出转移矩阵,求概率. 各种金融衍生定价基本都和布朗运动有关
2. 随机过程及应用
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，反对法随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。 设为一概率空间，另设集合T为一指标集合。如果对于所有，均有一随机变量定义于概率空间，则集合为一随机过程。 通常，指标集合T代表时间，以实数或整数表示。以实数形式表示时，随机过程称为连续随机过程；以整数表示时，则为离散随机过程。随机过程中的参数只为分辨同类随机过程中的不同实例，如上文下理不构成误会，通常略去。例如表达单次元布朗运动时，常以表达，但若考虑两同时进行布朗运动的粒子，则会分别以和（或作和）表示。 历史 为了了解金融市场和研究布朗运动，在19世纪后期人们开始研究随机过程。第一个用数学语言描述布朗运动的是数学家Thorvald N. Thiele。 他在1880年发表了第一篇关于布朗运动的文章。随后，在1900年， Louis Bachelier的博士论文“投机理论” 提出了股票和期权市场的随机分析。阿尔伯特·爱因斯坦（在他1905年的一篇论文中）和玛丽安·一维Smoluchowski（1906年）从物理界的角度出发，把它作为了一种间接证明了原子和分子的存在。他们所描述的布朗运动方程在1908年被让·佩兰核实。 从爱因斯坦的文章的摘录描述了随机模型的基本原理： "它必须明确假定每个单个颗粒执行的运动是独立于所有其他的粒子的运动;它也将被认为是1的动作和相同的颗粒在不同的时间间隔是独立的过程，只要这些的时间间隔不是非常小" "我们引入一时间间隔蛋白考虑，相对来说这是非常小的，但是我们可观察到的时间间隔，仍然过大，在两个连续时间间隔蛋白，由粒子所执行的动作可以被认为是作为彼此独立的事件"。
3. 随机过程：广泛使用的理论体系
4. 随机过程及其应用的介绍
《随机过程及其应用》是2006年清华大学出版社出版的图书，作者是陆大金。
5. 随机过程及其应用的内容介绍
《随机过程及其应用》着重讨论了随机过程的基本研究方法，论述了应用广泛的几种基本随机过程，并对其在控制和电子技术中的应用作了相应的介绍。全书共分7章。第1章提出随机过程的两类基本分析方法。第2章、第3章是采用第一类分析方法研究马尔可夫过程和马尔可夫链，对马尔可夫过程着重研究的是参数连续状态离散的马尔可夫过程，对泊松过程作了较详细的讨论，并引出了排队问题。第4章采用第二类分析方法研究二阶矩过程、平稳过程，并着重讨论了随机分析。第5章研究谱分析和线性系统，先用相关函数方法研究初始状态为零的条件下线性系统的响应，然后进一步讨论非零初始情况下线性系统的响应。第6章讨论正态过程。第7章为估值理论，它是随机过程应用的一个方面，也是为学习下一门课程“信号的统计检测和估值”作准备。为了配合理论的学习，在各章后面配有一定数量的习题。 本书可供理工科大学有关专业的教师、研究生和高年级学生作教材或教学参考书，也可供有关工程技术人员自学。
6. 随机过程的定义
随机过程定义[1]
1. 设随机试验的样本空间为 ，对于空间的每一个样本 ，总有一个时间函数 与之对应，而对于空间的所有样本 ，可有一组时间函数 与其对应，那么，此时称此组时间函数 为随机过程 。
2. 对于某一固定时刻 ， 为时间函数在 时 的状态，它是一个随机变量，它的样本空间为 。如果把该状态样本空间描述为状态函数的形式，那么我们依赖于时刻t就有一组这样的状态函数，我们称此组状态函数 为随机过程 。
定义1与定义2本质上是一致的，后者常用于做理论分析。
讨论
1. 若t和x都是变量，则随机过程是一组样本记录，可用全部样本记录的集合描述；
2. 若t是变量，而x是固定值，则随机过程只是一个样本记发，它可描述为一个确定的时间函数；
3. 若t是固定值，而x是变量，则随机过程是一个随机变量，它只是全部样本记录中某个固定时刻的点集合；
4. 若t和x都是固定值，则随机过程是确定值。
显然，只有（1）才反映一个随机变量的完整的随机过程，其他都只是随机过程的一个样本或样点。
随机过程分类[1]
1. 按时间和状态是否连续分为：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列；
2. 按样本函数形式分为：不确定随机过程和确定随机过程；
3. 按随机过程分布函数的特性不同分为：平稳过程、马尔克夫过程、独立增量过程等；
4. 按有无平稳性分为：平稳随机过程和非平稳随机过程；
5. 按有无各态历经分为：各态历经随机过程和非各态历经随机过程；
6. 按功率谱特性分为：白色过程和有色过程，宽带过程和窄带过程。
随机过程的统计特性
1. 随机过程的均值函数
计算随机过程均值的方法有两种，一是关于总体样本点的平均，简称总体平均；二是关于时间样本点的平均，简称时间平均。
究竟采用上述哪种平均法，可根据随机变量的随机过程是否为平稳随机过程加以确定。但不论是否为平稳过程，采用总体平均的方法总是通用的。
（1）
该均值对平稳随机过程来说，为物理量随机信号的平均幅值，它反映了物理量的随机信号的直流分量。
2. 随机过程的协方差函数
3. 随机过程的方差函数
对于平稳随机过程来说，它是一种定量反映物理量随机信号脉动能量大小的一个量。
4. 随机过程的相关函数
5. 随机过程协方差函数与相关函数之间的关系
6. 随机过程均值函数、方差函数之间的关系
均方值函数为方差函数与均值函数的平方之和，即对平稳随机过程来说，随机信号的总体能量为直流能量与脉动能量之和。
7. 单个样本记录的时间平均
时间平均是一种针对“各态历经”过程的随机信号统计特征的平均方法。它只需要一个样本记录 ，并从中获取随机信号的统计特征。值得一提的是，由于物理现象中大多数参变量的信号为平稳过程，并可将它们近似为各态历经的，所以工程中对于获取有关平稳过程随机信号的统计特性常采用时间平均法。
对于一个平稳随机过程来说，信号的时间平均结果应与总体平均的结果具有同样的效果。
几个重要的随机过程
1. 平稳随机过程
采用和或计算随机过程的一阶矩和二阶矩时，如果其结果不随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为弱平稳过程或广义平稳过程，工程上也称之为平稳过程。
2. 强平稳过程
如果对于一个随机过程来说，除了一阶矩和二阶矩的结果外，它的无限个高阶矩和联合矩的结果都不随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为强平稳过程。
3. 非平稳过程
在采用和或求取随机过程的一阶矩和二阶联合矩时，只要它们的结果中有一个随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为非平稳过程。
4. 各态历经过程
对于在可能控制的相同实验条件下所有样本记录来说，如果它们每一个样本记录都包含相同的随机现象的特征信息，则可称该随机现象的随机过程为各态历经的。显然，对“各态历经”过程的随机信号来说，无需采用总体平均这一方法获取信号的平均值，而只需取一个单个样本作时间平均即可。工程上，一般可以将一个平稳的随机过程看成是“各态历经”的。
7. 什么是随机过程?
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程。 随机过程的理论产生于20世纪初期，是应物理学、生物学、管理科学等方面的需要而逐步发展起来的。目前，在自动控制、公用事业、管理科学等方面都有广泛的应用。 发展概况： 1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。 1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。 1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。 1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。 1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。
8. 随机过程的基本概念
在客观世界中有些随机现象表示的是事物随机变化的过程，不能用随机变量或随机矢量来描述，而需要用一族无限多个随机变量来描绘，这就是随机过程。
图1.14
随机变量是指在同一条件下，事件每次发生的结果是随机的、不确定的，而随机过程是指在同样条件下，事物发生的某一过程是随机的、不可准确预知的。一个过程可能是由无限多个随机变量构成，而随机过程是由一族过程（随机出现的）构成的。如对某一个钻孔的水位进行连续观测，以 H0（t）来表示水位，在第一个水文年观测到的水位曲线为 H1（t），…，在第 n 个水文年里观测到的水位为Hn（t），每个水文年里所得到的样本曲线都是随机的（图 1.14）。{H（t），t∈（0，∞）}，怎样理解为由一族随机变量构成的呢?我们固定某一观测时间 t0，考察 H（t）在每年 t0时刻的水位值 H1（t0），H2（t0），…，Hn（t0），显然H（t0）是一个随机变量，而当 t 变化时，H（t）是一族随机变量。因此，H（t）是一个随机过程。
同样的道理，一个地区大气降水的过程，某条河流的流量或河水位变化过程都可看成是一个随机过程。由此可见，设{X（t），t∈T}为一随机过程，一次过程的观测可以视为随机过程的一个样本函数 X1（t），第 i 次过程的观测可视为随机过程的第i 个样本函数Xi（t）。n次试验观测的结果可得样本函数X1（t），X2（t），…，Xn（t）。对于随机过程 X（t），当 t 固定时，为一个随机变量，即随机过程在 t 时刻的状态。随机变量 X（t），t∈T（t 固定）的所有可能取的值构成一个实数集，称为随机过程的状态空间或值域，而每一个可能取的值称为一个状态。
随机过程可根据参数集T和状态空间的情况进行分类，一般地随机过程可分为下列四类：
（1）离散参数、离散状态随机过程。
（2）离散参数、连续状态随机过程。
（3）连续参数、离散状态随机过程。
（4）连续参数、连续状态随机过程。
1.3.1 有限维分布族
随机过程{X（t），t∈T}在每一时刻 t 的状态是一维随机变量，在任意两个时刻的状态是二维随机变量。随机过程的统计特征可用其不同固定时刻的不同维随机变量（矢量）的分布的全体来表示。
对任意固定的t∈T，
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称为随机过程X（t）在t时刻的一维分布函数。
对于任意两个固定的t1，t2∈T
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称为随机过程X（t）的二维分布函数。
一般地，对于任意固定的t1，t2，…，tn∈T，
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称为随机过程X（t）的n维分布函数。
随机过程X（t）的一维分布函数，二维分布函数，…，n维分布函数的全体称为随机过程的有限维分布函数族。
1.3.2 随机过程的数字特征
随机过程的数字特征是通过随机过程的有限维分布函数的数字特征来刻画，由于随机过程{X（t），t∈T}在每一个 t∈T 的状态是一个随机变量，有其对应的数字特征。随 t 的不同取值，随机变量的数字特征是可以不同的，它的数学期望和方差是依赖于参数 t 的函数，我们称这一函数为随机过程的数字特征。设随机过程 X（t）t∈T 的数学期望用mX（t）表示，则有：
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式中：F（x，t）——随机过程的一维分布函数。
若F（x，t）为连续函数，则有：
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式中：f（x，t）——一维分布密度函数。
如图1.15所示，当样本曲线数增加到一定数量后，mX（t）基本为一条固定曲线，而样本曲线围绕其上下波动。
设随机过程X（t）t∈T的方差用DX（t）表示，则有：
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而σX（t）=称为随机过程的标准差。
随机过程的方差也是过程t的函数，它反映了每一个样本曲线对均值曲线mX（t）的偏离程度。
在分析实际工程问题时，随机过程的均方值具有物理意义，随机过程的均方值用ΨX（t）表示，则有：
图1.15
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从而有：
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随机过程的均值函数和方差函数只考虑了随机过程在任一时刻状态的数字特征，但对随机过程在不同时刻状态之间的相关关系的分析，必须有随机过程协方差函数和相关函数的概念。
随机过程X（t）在任意两个时刻t1，t2∈T，X（t1）和X（t2）是两个随机变量，它们之间线性联系的密切程度可用相关函数：
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描绘。
X（t1）与X（t2）的协方差称为随机过程X（t）的（自）协方差函数，记为CX（t1，t2），即：
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如果两个随机过程的方差相同，可以用协方差函数绝对值的大小比较两个过程在时刻t1，t2状态的线性联系密切程度。如图1.16（a）和（b）所示的两个随机过程的数学期望和方差相同，但（a）过程在不同时刻的线性联系程度要小于（b）过程。
协方差函数还可以表示为：
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相关函数可以表示为：
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随机过程X（t）的协方差函数和相关函数的关系为：
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图1.16
当随机过程的mX（t）=0时，
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当t1=t2时，
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不难看出，数学期望和相关函数是随机过程两个最基本的数字特征，协方差函数和方差可从它们中获得。
在众多类型的随机过程中，正态（随机）过程（高斯过程）在工程中十分常见，也十分重要和有用。
如果随机过程{X（t），t∈T}的有限维概率分布是一维或多维正态分布：即对 n≥1，任意的 t1，t2，…，tn∈T，有：
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式中：x=（x1，x2，…，xn）T
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则称X（t）是正态（随机）过程或Gauss过程。
1.3.3 两个随机过程的联合分布
在工程技术中，经常需要同时考虑两个或两个以上随机过程的统计特性，如对于一个地下水系统而言，大气降水的补给量P（t）是一个随机过程，对应的地下水系统响应（如泉流量或水位动态）也是一个随机过程。我们经常要研究地下水系统输入随机过程与响应（输出）随机过程之间的关系，从而涉及研究两个随机过程的情形。
设 X（t），Y（t）（t∈T）是两个随机过程，则称{（X（t），Y（t）}T，t∈T}为二维随机过程。
对于任意的m≥1，有t1，t2，…，tm∈T，t1′，t2′，…，tn′∈T，作m+n维随机矢量（X（t1），X（t2），…，X（tm））的联合分布函数：
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称为二维随机过程（X（t），Y（t））T的m+n维（联合）分布函数。
对于随机过程X（t），Y（t），t∈T，固定t1，t2∈T，则：
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为随机过程X（t），Y（t）的互相关函数。
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