怎样求不定积分

1. 怎样求不定积分

1、直接利用积分公式求出不定积分。
2、通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如

3、运用链式法则：

4、运用分部积分法：∫udv=uv-∫vdu；将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。积分容易者选为v，求导简单者选为u。例子：∫Inx dx中应设U=Inx，V=x。
扩展资料：
一、常用的积分公式有：










二、求不定积分的注意事项：
1、如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
2、虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合，原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数。

2. 不定积分？

如下图所示：

3. 什么叫不定积分

4. 1的不定积分等于多少

1的不定积分等于：x+C。（C为积分常数，x为自变量）
解答过程如下：
∫ 1=x+C。
不定积分和求导是互逆的，对x+C求导得1，于是1的不定积分就是x+C。
扩展资料：

分部积分：
(uv)'=u'v+uv'
得：u'v=(uv)'-uv'
两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx
即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式
也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv
常用积分公式：
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C

5. tanx的不定积分

∫tanxdx
=∫sinx/cosx dx
=∫1/cosx d(-cosx)
因为∫sinxdx=-cosx（sinx的不定积分）
所以sinxdx=d(-cosx)
=-∫1/cosx d(cosx)（换元积分法）
令u=cosx,du=d(cosx)
=-∫1/u du=-ln|u|+C
=-ln|cosx|+C

扩展资料：
在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f的函数F ，即F ′ = f。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。
解释
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。
这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；
若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
参考资料：百度百科-不定积分

6. cosx的平方的不定积分怎么求

∫cos²xdx
=∫½[1+cos(2x)]dx
=∫½dx+∫½cos(2x)dx
=∫½dx+¼∫cos(2x)d(2x)
=½x+¼sin(2x) +C
解题思路：
先运用二倍角公式进行化简。
cos(2x)=2cos²x-1
则cos²x=½[1+cos(2x)]

扩展资料：
同角三角函数的基本关系式
倒数关系：tanα ·cotα=1、sinα ·cscα=1、cosα ·secα=1；
商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα、cosα/sinα=cotα=cscα/secα；
和的关系：sin2α+cos2α=1、1+tan2α=sec2α、1+cot2α=csc2α；
平方关系：sin²α+cos²α=1。
参考资料：
百度百科--余弦函数

7. arctanx的不定积分

用分部积分解决
∫ arctanx dx
=xarctanx-∫ x d(arctanx)
=xarctanx-∫ x /(1+x^2) dx
=xarctanx-(1/2) ∫ 1/(1+x^2) d(1+x^2) 
=xarctanx-(1/2)ln(1+x^2)+C
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
证明：如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。
由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。
因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。
参考资料：百度百科——不定积分

8. 1/(x4+1)的不定积分

设1\(x^4+1)
=(ax+b)\[x^2+2^(1\2)x+1]+(cx+d)\[x^2-2^(1\2)x+1]
则a+c=0 b+d+2^(1\2)(c-a)=0
a+c+2^(1\2)(d-b)=0 b+d=1
a=2^(1\2)\4 c=-2^(1\2)\4 b=d=1\2
∴1\(x^4+1)=[2^(1\2)\8]*{[2x+2*2^(1\2)]\[x^2+2^(1\2)x+1]
-[2x-2*2^(1\2)]\[x^2-2^(1\2)x+1]}
=[2^(1\2)\8]*{[2x+2^(1\2)]\[x^2+2^(1\2)x+1]
-[2x-2^(1\2)]\[x^2-2^(1\2)x+1]}+
1\4{[x+2^(1\2)\2]^2+1\2}+1\4{[x-2^(1\2)\2]^2+1\2}
∴∫dx\(x^4+1)
=[2^(1\2)\8]*In{[x^2+2^(1\2)x+1]\[x^2-2^(1\2)x+1]}
+[2^(1\2)\4]*{arctan[2^(1\2)x+1]+arctan[2^(1\2)x-1]}
+C
=[2^(1\2)\8]*In{[x^2+2^(1\2)x+1]\[x^2-2^(1\2)x+1]}
+[2^(1\2)\4]*arctan[2^(1\2)x\(1-x^2)]+C
扩展资料：
分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．
可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。