多元线性回归分析预测法的介绍

1. 多元线性回归分析预测法的介绍

在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。

2. 多元线性回归分析预测法的公式

多元线性回归预测模型一般公式为： 多元线性回归模型中最简单的是只有两个自变量（n=2）的二元线性回归模型，其一般形式为：下面以二元线性回归分析预测法为例，说明多元线性回归分析预测法的应用。二元线性回归分析预测法，是根据两个自变量与一个因变量相关关系进行预测的方法。二元线性回归方程的公式为：式中：：因变量；x1,x2：两个不同自变量，即与因变量有紧密联系的影响因素。a,b1,b2：是线性回归方程的参数。a,b1,b2是通过解下列的方程组来得到。二元线性回归预测法基本原理和步骤同一元线性回归预测法没有原则的区别，大体相同。

3. 一元线性回归预测法的模型检验

1、经济意义检验：就是根据模型中各个参数的经济含义，分析各参数的值是否与分析对象的经济含义相符。2、回归标准差检验3、拟合优度检验4、回归系数的显著性检验 可以分为：点预测和置信区间预测法1、点预测法：将自变量取值带入回归预测模型求出因变量的预测值。2、置信区间预测法：估计一个范围，并确定该范围出现的概率。置信区间的大小的影响的因素：a、因变量估计值；b、回归标准差；C、概率度t。 一元线性回归分析预测法，是根据自变量x和因变量Y的相关关系，建立x与Y的线性回归方程进行预测的方法。由于市场现象一般是受多种因素的影响，而并不是仅仅受一个因素的影响。所以应用一元线性回归分析预测法，必须对影响市场现象的多种因素做全面分析。只有当诸多的影响因素中，确实存在一个对因变量影响作用明显高于其他因素的变量，才能将它作为自变量，应用一元相关回归分析市场预测法进行预测。一元线性回归分析法的预测模型为：式中，xt代表t期自变量的值；代表t期因变量的值；a、b代表一元线性回归方程的参数。a、b参数由下列公式求得（用代表）：为简便计算，我们作以下定义：(2)式中：这样定义a、b后，参数由下列公式求得：将a、b代入一元线性回归方程Yt = a + bxt，就可以建立预测模型，那么，只要给定xt值，即可求出预测值。在回归分析预测法中，需要对X、Y之间相关程度作出判断，这就要计算相关系数Y，其公式如下：相关系数r的特征有：①相关系数取值范围为：-1≤r≤1 。②r与b符合相同。当r>0，称正线性相关，Xi上升，Yi呈线性增加。当r<0，称负线性相关，Xi上升，Yi呈线性减少。③|r|=0，X与Y无线性相关关系；|r|=1，完全确定的线性相关关系；0<|r|<1，X与Y存在一定的线性相关关系；|r|>0.7，为高度线性相关；0.3<|r|≤0.7，为中度线性相关；|r|≤0.3，为低度线性相关。

4. 多元线性回归分析步骤

一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元线性回归。设y为因变量，x_1，x_2，\cdotsx_k为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_kx_k+e其中，b0为常数项，b_1，b_2，\cdotsb_k为回归系数。b1为x_2，x_3\cdotsx_k固定时，x1每增加一个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为x1，xk固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1，x2同一个因变量y呈线性相关时，可用二元线性回归模型描述为：y=b0+b1x1+b2x2+e。

5. 一元线性回归预测模型的检验方法有哪些，各检验方法分别是对模型的哪些方面进行检验？

一元线性回归方程采用线性性的假设检验： 假设所建立的模型为：y = b0 + b1x 建立假设如下： H0: b1 = 0 H1: b1 不等于 0 有下列3种方法可以构造3种不同的统计量：（1）t检验法：(由于输入法的原因，以下用c1表示b1的估计值，e表示残差的估计值) T = c1/sd(c1) = (c1√Sxx)/e ~ t(n -2) 故在a水平下的拒绝域为 |T| >= t(a/2)[n-2] (2) F检验法：F = T^2 = ((c1)^2 * Sxx)/(e^2) ~ F(1,n-2) 在a水平下的拒绝域为 F >= Fa[1,n-2] (3)相关系数检验：R = (Sxy)/[(√Sxx)*(√Syy)] 为样本相关系数，构造t统计量： T = [R√(n - 2)]/√(1-R^2) ~ t(n - 2) 在a水平下的拒绝域为 |T| >= t(a/2)[n-2] 上述内容中提到的Sxx为样本x的离差平方和，Syy为样本y的离差平方和，Sxy为交叉平方和，e为残差的最小二乘估计，这里就不再给出其计算方法了。【摘要】
一元线性回归预测模型的检验方法有哪些，各检验方法分别是对模型的哪些方面进行检验？【提问】
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一元线性回归方程采用线性性的假设检验： 假设所建立的模型为：y = b0 + b1x 建立假设如下： H0: b1 = 0 H1: b1 不等于 0 有下列3种方法可以构造3种不同的统计量：（1）t检验法：(由于输入法的原因，以下用c1表示b1的估计值，e表示残差的估计值) T = c1/sd(c1) = (c1√Sxx)/e ~ t(n -2) 故在a水平下的拒绝域为 |T| >= t(a/2)[n-2] (2) F检验法：F = T^2 = ((c1)^2 * Sxx)/(e^2) ~ F(1,n-2) 在a水平下的拒绝域为 F >= Fa[1,n-2] (3)相关系数检验：R = (Sxy)/[(√Sxx)*(√Syy)] 为样本相关系数，构造t统计量： T = [R√(n - 2)]/√(1-R^2) ~ t(n - 2) 在a水平下的拒绝域为 |T| >= t(a/2)[n-2] 上述内容中提到的Sxx为样本x的离差平方和，Syy为样本y的离差平方和，Sxy为交叉平方和，e为残差的最小二乘估计，这里就不再给出其计算方法了。【回答】
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6. 请教多元线性回归结果如何分析

优点：
1、回归分析法在分析多因素模型时，更加简单和方便；
2、运用回归模型，只要采用的模型和数据相同，通过标准的统计方法可以计算出唯一的结果，但在图和表的形式中，数据之间关系的解释往往因人而异，不同分析者画出的拟合曲线很可能也是不一样的；
3、回归分析可以准确地计量各个因素之间的相关程度与回归拟合程度的高低，提高预测方程式的效果；在回归分析法时，由于实际一个变量仅受单个因素的影响的情况极少，要注意模式的适合范围，所以一元回归分析法适用确实存在一个对因变量影响作用明显高于其他因素的变量是使用。多元回归分析法比较适用于实际经济问题，受多因素综合影响时使用。
缺点：
有时候在回归分析中，选用何种因子和该因子采用何种表达 式只是一种推测，这影响了用电因子的多样性和某些因子的不可测性，使得回归分析在某些 情况下受到限制。

7. 关于多元线性回归模型的显著性检验

综述：这句话分两种情况考虑。
第一，在一元线性回归的情况下，由于只有一个系数需要检验，所以回归方程的F检验与系数的T检验的结果是一直的。
第二，在多元线性回归的情况下，方程总体的线性关系检验不一定与回归系数检验结果一致。通常的情况是，方程的总体线性关系是显著的，但是某个变量的影响却并不显著。
因为，方程总体的线性关系显著性F检验的备择假设是估计参数不全为0，所以当某个参数的t检验通过（即拒绝零假设，参数不为0），则很可能影响到总体线性检验拒绝零假设。
回归模型（regression model）对统计关系进行定量描述的一种数学模型。如多元线性回归的数学模型可以表示为y=β0+β1*x+εi，式中，β0，β1，…，βp是p+1个待估计的参数，εi是相互独立且服从同一正态分布N(0,σ2)的随机变量，y是随机变量；x可以是随机变量，也可以是非随机变量，βi称为回归系数，表征自变量对因变量影响的程度。


回归分析
回归模型重要的基础或者方法就是回归分析，回归分析是研究一个变量（被解释变量）关于另一个（些）变量（解释变量）的具体依赖关系的计算方法和理论，是建模和分析数据的重要工具。在这里，我们使用曲线／线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。

8. 多元线性回归分析的基本假定是什么?

如下：
1、随机误差项是一个期望值或平均值为0的随机变量。
2、对于解释变量的所有观测值，随机误差项有相同的方差。
3、随机误差项彼此不相关。
4、解释变量是确定性变量，不是随机变量，与随机误差项彼此之间相互独立。
5、解释变量之间不存在精确的（完全的）线性关系，即解释变量的样本观测值矩阵是满秩矩阵。
6、随机误差项服从正态分布。


多元线性回归简介
在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用意义更大。